【Leetcode】1547. Minimum Cost to Cut a Stick

题目地址:

https://leetcode.com/problems/minimum-cost-to-cut-a-stick/

给定一个长 n n n的木棒,再给定一个长 m m m的数组 A A A A A A里的数表示允许在这根木棒上切的位置,题目保证这些位置都在区间 ( 0 , n ) (0,n) (0,n)内。每次切割的时候的代价是被切割的木棒的长度。问要执行 m m m次切割,最少的总代价是多少。

先将 A A A从小到大排序,接着构造一个新数组 C C C,使得 C = [ 0 , A [ 0 ] , A [ 1 ] , . . . , A [ m − 1 ] , n ] C=[0,A[0], A[1], ..., A[m-1], n] C=[0,A[0],A[1],...,A[m1],n]。接下来可以枚举第一次切割的位置,然后递归求得左右两边的最小代价,求得总的最小代价。设 f [ l ] [ r ] f[l][r] f[l][r]是现在面对的木棒的一段是 [ C [ l ] , C [ r ] ] [C[l],C[r]] [C[l],C[r]],能得到的最小代价,那么能做的切割就是 C [ l + 1 : r − 1 ] C[l+1:r-1] C[l+1:r1],可以枚举所有第一步的切割;当然如果 l + 1 = r l+1=r l+1=r,意味着不能再切了,直接返回 0 0 0。所以 f [ l ] [ r ] = { ( C [ r ] − C [ l ] ) + min ⁡ l + 1 ≤ k ≤ r − 1 { f [ l ] [ k ] + f [ k ] [ r ] } , l + 1 < r 0 , l + 1 = r f[l][r]=\begin{cases}(C[r]-C[l])+\min_{l+1\le k\le r-1}\{f[l][k]+f[k][r]\},l+1<r\\0,l+1=r \end{cases} f[l][r]={(C[r]C[l])+minl+1kr1{f[l][k]+f[k][r]},l+1<r0,l+1=r做记忆化搜索即可。代码如下:

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    public int minCost(int n, int[] cuts) {
        Arrays.sort(cuts);
        int m = cuts.length;
        int[] tmp = new int[m + 2];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            tmp[i + 1] = cuts[i];
        }
        tmp[m + 1] = n;
        cuts = tmp;
        
        int[][] f = new int[m + 2][m + 2];
        for (int[] row : f) {
            Arrays.fill(row, -1);
        }
        
        return dfs(0, m + 1, cuts, f);
    }
    
    int dfs(int l, int r, int[] cuts, int[][] f) {
        if (f[l][r] != -1) {
            return f[l][r];
        }
        
        // 如果不需要切,则直接返回0
        if (r == l + 1) {
            return f[l][r] = 0;
        }
        
        // 先求一下切的代价
        f[l][r] = cuts[r] - cuts[l];
        // 枚举下一步切哪里,求得之后的最小总代价
		int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = l + 1; i < r; i++) {
            min = Math.min(min, dfs(l, i, cuts, f) + dfs(i, r, cuts, f));
        }
        
        // 返回之前做记忆
        f[l][r] += min;
        return f[l][r];
    }
}

时间复杂度 O ( m 3 ) O(m^3) O(m3),空间 O ( m 2 ) O(m^2) O(m2)

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