训练实录 | 2021牛客暑期多校训练营3

2021牛客暑期多校训练营3

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E - Math

题意: 给一个整数n,求出满足下列条件的对数(x,y):
1:(xx+yy)%(x*y+1)=0,
2:1<=x<=y<=n.

思路: 设倍数关系为k,那么原式可以写成k*(xy+1)=xx+yy。
将x看作常量,那么由韦达定理可得y1+y2=k
x
那么如果有一对书(x,y)符合条件,那么(x,kx-y)也会符合条件。
由于条件里面的式子对于x与y来说是对称的。所以(y,x)也会符合条件。
那么我们就有
(x,y)->(y,k
y-y)->(ky-y,k(ky-y)-y)->…
我们枚举x,然后对于每一个x,按着这样的顺序找下去。
然后我们需要求解其中的k
y与x的关系。确定最终的式子。
观察式子 kxy+k=xx+yy
对比等号两边的项可以得到两个方程组:
kxy=xx
k=y
y

kxy=yy
k=x
x
刚刚说过,这个式子里x与y是对称的,所以两个方程式都一样,故不妨设k=xx。那么又有y=xx*x
所以我们上面的递推可以变成:
(x,x^3 ) -> ( x^3 ,x^5- x^3)…
但当x=1时代入不满足上式故特殊判断当x等于1时直接(1,1)是一对就行了。
然后从2开始枚举x。
显然y>x,所以把y放入数组就行了。
最大的y不能超过1e18.对于每一个x,第一个y是x的三次方,所以最大的x不会超过1e6.故我们只要将x枚举到1e6就行了。
枚举完后就得到了所有的对。然后用upper_bound找出最大值小于n的对在第几个就好了。

#pragma warning(disable:4996)
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<ctype.h>
#include<list>
//#include <unordered_map>
#include<deque>
#include<functional>
using namespace std;
//#define int long long  
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;

const LL maxn = 1e7;
const int esp = 1e-9;
LL n, m, t;
LL maxx = 1e18;

vector<LL>ans;

int main() {
	cin >> t;
	LL cnt = 0;
	ans.push_back(1);
	for (LL i = 2; i <= 1e6; i++) {
		LL x = i, y = i * i * i, k = i * i;
		while (1) {
			ans.push_back(y);
			if (y > ceil(1e18 / k))break;  //防止y爆longlong。
			LL temp = k * y - x;
			x = y;
			y = temp;
		}
	}
	sort(ans.begin(), ans.end());
	while (t--) {
		cin >> n;
		int res = upper_bound(ans.begin(), ans.end(), n) - ans.begin();
		cout << res;
		putchar('\n');
	}
}

J - Counting Triangles

题意: 给一个无向完全图,图中每一条边都为黑色或白色,问图中三条边颜色相同的三角形有几个。

思路: 对于每一个点来说,可以有黑边或白边与其相连,那么这个点可以构成的不符合条件的三角形个数就是这个点的黑边数乘白边数,由于在一个不符合的三角形中会有三个点,所以会有重复计算的点,而其中有两个点是连着两条不同颜色的边,所以重复计算的点有两个,算出来的不符合的三角形个数应该除二。最终结果就是所有三角形减去不符合的三角形。

#include <iostream>
using namespace std;

namespace GenHelper
{
    unsigned z1, z2, z3, z4, b, u;
    unsigned get()
    {
        b = ((z1 << 6) ^ z1) >> 13;
        z1 = ((z1 & 4294967294U) << 18) ^ b;
        b = ((z2 << 2) ^ z2) >> 27;
        z2 = ((z2 & 4294967288U) << 2) ^ b;
        b = ((z3 << 13) ^ z3) >> 21;
        z3 = ((z3 & 4294967280U) << 7) ^ b;
        b = ((z4 << 3) ^ z4) >> 12;
        z4 = ((z4 & 4294967168U) << 13) ^ b;
        return (z1 ^ z2 ^ z3 ^ z4);
    }
    bool read() {
        while (!u) u = get();
        bool res = u & 1;
        u >>= 1; return res;
    }
    void srand(int x)
    {
        z1 = x;
        z2 = (~x) ^ 0x233333333U;
        z3 = x ^ 0x1234598766U;
        z4 = (~x) + 51;
        u = 0;
    }
}
using namespace GenHelper;
bool edge[8005][8005];
int  e1[8888], e0[8888];
int main() {
    long long int n;
    int seed;
    cin >> n >> seed;
    srand(seed);
    long long int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
        {
            if (read()) {
                e1[j]++;
                e1[i]++;
            }
            else e0[i]++, e0[j]++;
        }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans += e1[i] * e0[i];
    }
    cout << n * (n - 1) * (n - 2) / 6 - ans / 2;
    return 0;
}

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