图解DFS和回溯(字符串的排列c++)

算法学习笔记4

文章目录

  • 一、DFS和回溯
    • 1.1 DFS
      • 1.1.1 BFS和DFS比较
      • 1.1.2 DFS搜索过程
      • 1.1.3 DFS中深度作用
    • 1.2 回溯
      • 1.2.1 回溯算法的框架
      • 1.2.2 回溯-全排列问题
      • 1.2.3 回溯-N皇后问题
  • 二、字符串的排列
    • 2.1 题目描述
    • 2.2 思考
    • 2.3 代码实现


一、DFS和回溯

1.1 DFS

参考【算法入门】深度优先搜索(DFS)。

1.1.1 BFS和DFS比较

先比较下BFS和DFS:
BFS在树的层次较深&子节点数较多的情况下,消耗内存十分严重。BFS适用于节点的子节点数量不多,并且树的层次不会太深的情况,寻找最优解(最短路径)。
DFS难以寻找最优解,仅仅只能寻找有解。其优点就是内存消耗小,克服了BFS的缺点。

1.1.2 DFS搜索过程

DFS举例:寻找V0到V6的一条路(无需最短路径)。
已知解为:V0->V3->V5->V6。
在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述在这里插入图片描述
在这里插入图片描述DFS函数的调用堆栈:
在这里插入图片描述
此后堆栈调用返回到V0那一层,因为V1那一层也找不到跟V1的相邻未访问节点
在这里插入图片描述此后堆栈调用返回到V3那一层
在这里插入图片描述此后堆栈调用返回到主函数调用DFS(V0,0)的地方,因为已经找到解,无需再从别的节点去搜别的路径了。

这个例子很好的展示了DFS搜索的过程,每进行一次搜索,都要在节点进行判断下一步的可选择方案,美中不足的是并没有体现出“深度”的意义。

1.1.3 DFS中深度作用

这个例子完美解释了“深度”的含义,参考Jack-Huang 。

输出自然数1到n所有不重复的排列,即n的全排列,要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

我们可以模拟出n个盒子和n张卡片,我们需要将n张卡片分别放到n个盒子里,且每个盒子只能放1张卡片,那有多少种方案呢?
下图为模拟放卡片的过程。

在这里插入图片描述
整个过程可以描述如下:
参考算法与编程之美
在这里插入图片描述

对于需要排列的元素用数组arr储存,temp用于保存结果。
由于选择一个数字后,后面不可再选,如temp第一个格子填1,后面三个格子便不能再填1,所以需要有visit记录哪些元素可以使用,True表示可以使用,Flase表示已经使用过,不能再使用。
在这里插入图片描述

visit = [True, True, True, True]
temp = ["" for x in range(0, 4)]
#position表示需要对temp哪个位置进行填充
def dfs(position):
    # 递归出口,temp数组已填满
    if position == len(arr):
        print(temp)
        return
    # 递归主体
for index in range(0, len(arr)):
    #当前元素可以使用,填入temp
        if visit[index] == True:
            temp[position] = arr[index]
            #填入后将其状态改为不可使用
            visit[index] = False
            dfs(position + 1)
            visit[index] = True  # 回溯。非常重要

完整代码如下:

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int arr[101], temp[101], visit[101], n;
void print()
{
	int i;
	for (i = 0; i < n; i++)  cout << temp[i] << ' ';
	cout << endl;
}
inline void dfs(int i)//现在是第i层,也可以看成是第i个盒子,把数据放到这个盒子里 
{
	int j;
	if (i == n)//如果到达了第n层说明已经搜索完成,输出 
	{
		print();//输出方案
		return;//返回上一层(上一个盒子)
	}
	for (j = 0; j < n; j++)//开始放数据 
	{
		if (visit[j] == 0)//这个数可以放(未标记) 
		{
			temp[i] = arr[j];//放这个数 
			visit[j] = 1;//标记被放过了 
			dfs(i + 1);//放第i+1个盒子(层) 
			visit[j] = 0;//返回之前一步,回溯 
		}
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)  arr[i] = i + 1;
	dfs(0);//开始深搜 
	system("pause");
	return 0;
}

这个例子中,box的数量就是需要搜索的深度,只有当每一个盒子里都有卡片,才可以结束搜索。
每进行一次搜索,都要在节点进行判断:上一个盒子已经放过卡片了,那么就不能再放入新的卡片,需要标记这个盒子的状态为不可用,当所有盒子都被标记为不可用,搜索也就完成了,也和深度(box的数量)对应。
这里DFS和回溯一起作用,下面再来看一下回溯。

1.2 回溯

这部分全部参考 labuladong。

1.2.1 回溯算法的框架

result = []
def backtrack(路径, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        result.add(路径)
        return

    for 选择 in 选择列表:
        #做选择
        将该选择从选择列表移除
        路径.add(选择)
        backtrack(路径, 选择列表)
        # 撤销选择
        路径.remove(选择)
        将该选择再加入选择列表

1.2.2 回溯-全排列问题

仍然采用1.1.3中的例子。绘制回溯算法的「决策树」:
在这里插入图片描述
在每个节点上其实都在做决策。比如说在下图的红色节点上,就在做决策,可以选择 1 那条树枝,也可以选择 3 那条树枝。为啥只能在 1 和 3 之中选择呢?因为 2 这个树枝在你身后,这个选择你之前做过了,而全排列是不允许重复使用数字的。在这里插入图片描述[2] 就是「路径」,记录已经做过的选择;[1,3] 就是「选择列表」,表示当前可以做出的选择;「结束条件」就是遍历到树的底层,也可以理解为深度。
在这里插入图片描述
那么,全排列其实就是遍历回溯算法决策树的过程,其路径就是全排列。
多叉树遍历框架一般是这样的:

void traverse(TreeNode root) {
    for (TreeNode child : root.childern)
        // 前序遍历需要的操作
        traverse(child);
        // 后序遍历需要的操作
}

作者labuladong画的这些图太神了,让我对回溯算法恍然大悟。
所谓的前序遍历和后序遍历,他们只是两个很有用的时间点。前序遍历的代码在进入某一个节点之前的那个时间点执行,后序遍历代码在离开某个节点之后的那个时间点执行。
在这里插入图片描述「路径」和「选择」是每个节点的属性,函数在树上游走要正确维护节点的属性,那么就要在这两个特殊时间点搞点动作:
在这里插入图片描述完整代码如1.1.3所示,visit数组记录的就是可选的路径,temp记录已经选择路径。
全排列穷举整棵决策树是无法避免的,这也是回溯算法的一个特点,不像动态规划存在重叠子问题可以优化,回溯算法就是纯暴力穷举,复杂度一般都很高。
所以全排列问题不管怎么优化,都符合回溯框架,而且时间复杂度都不可能低于 O(N!)。

1.2.3 回溯-N皇后问题

一个 N×N 的棋盘,让你放置 N 个皇后,使得它们不能互相攻击。

PS:皇后可以攻击同一行、同一列、左上左下右上右下四个方向的任意单位。
套用框架的完整代码如下:

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <iomanip>
using namespace std;

vector<vector<string>> res;//放置解的结果
int n;

/* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后? 
   因为同一行只放置一个Q,且行数依次增加,左下方和右下方还未放置数据
   所以只需考虑列、左上方和右上方
*/
bool isValid(vector<string>& board, int row, int col) {
	int n = board.size();
	// 检查列是否有皇后互相冲突
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (board[i][col] == 'Q')
			return false;
	}
	// 检查右上方是否有皇后互相冲突
	for (int i = row - 1, j = col + 1;
		i >= 0 && j < n; i--, j++) {
		if (board[i][j] == 'Q')
			return false;
	}
	// 检查左上方是否有皇后互相冲突
	for (int i = row - 1, j = col - 1;
		i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
		if (board[i][j] == 'Q')
			return false;
	}
	return true;
}

// 路径:board 中小于 row 的那些行都已经成功放置了皇后
// 选择列表:第 row 行的所有列都是放置皇后的选择
// 结束条件:row 超过 board 的最后一行
void backtrack(vector<string>& board, int row) {
	// 触发结束条件
	if (row == board.size()) {
		res.push_back(board);
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++) {
				cout << setw(2) << board[i][j];
			}
			cout << endl;
		}
		cout << endl;
		return;
	}

	int n = board[row].size();
	for (int col = 0; col < n; col++) {
		// 排除不合法选择
		if (!isValid(board, row, col))
			continue;
		// 做选择
		board[row][col] = 'Q';
		// 进入下一行决策
		backtrack(board, row + 1);
		// 撤销选择
		board[row][col] = '*';
	}
}


/* 输入棋盘边长 n,返回所有合法的放置 */
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
	// '.' 表示空,'Q' 表示皇后,初始化空棋盘。
	vector<string> board(n, string(n, '.'));//相当于构造了n×n的棋盘
	backtrack(board, 0);
	cout << res.size() << endl;//8皇后问题共有92个解
	return res;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n;
	solveNQueens(n);//开始深搜 
	system("pause");
	return 0;
}

运行结果如下(8皇后问题):
在这里插入图片描述在这里插入图片描述上述代码没有考虑棋盘的“对称关系”,“旋转关系”或者“转置关系”,有待后续进一步研究。

二、字符串的排列

2.1 题目描述

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

字符串中有可能有重复的字符。

2.2 思考

全排列问题,考虑DFS和回溯算法。
对DFS和回溯算法进行空间上的优化,不再开辟新的空间储存字符串,将字符串原地交换,因为需要遍历整个回溯算法决策树,所以时间复杂度不变。
时间复杂度:O(n!)
空间复杂度:O(1),原地交换
图片来自牛客网评论区,DFS深度为字符串长度,回溯前序遍历需要的操作和后后序遍历需要的操作均为swap。
在这里插入图片描述不同的是字符串中可能有重复的数字,需要对决策树进行剪枝操作。

下图来自 hellosc01:
在这里插入图片描述

此处使用c++的set容器去重,同时达到按字母顺序排序。

2.3 代码实现

代码如下:

class Solution {
public:
    vector<string> Permutation(string str) {
        len = str.size();
        if(len == 0) return{};
        backtrack(str,0);
        return vector<string>({ret.begin(), ret.end()});
    }
    
    void backtrack(string str,int box){
        if(box == len-1) ret.insert(str);
        else{
            for(int i = box; i < len; i++){
                swap(str[i],str[box]);
                backtrack(str,box+1);
                swap(str[i],str[box]);
            }
        }
    }
private:
    int len;
    set<string> ret;
};

终于通过啦!
在这里插入图片描述


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