Leetcode 23. Merge k Sorted Lists (链表难度天花板之一)

简介

题目链接 Leetcode 23. Merge k Sorted Lists

作为链表的难度天花板之一,这道题依然不是很难。建议看解法之前先练习本题的简单版本LeetCode 21. Merge Two Sorted Lists。

注意:文章中一切注解皆为Python代码

理解题目

题目非常简单。给了K个已排序的链表,把他们合并为一个新的+排好序的链表。如果你会合并两个链表,你就能合并K个链表。合并两个链表的时候用的是双指针(每个链表各一个指针),合并K个链表就可以用K个指针。但是这种方法有个问题,让我们先看一下实现过程。

class Solution:
    def mergeKLists(self, lists: List[ListNode]) -> ListNode:
        n = len(lists)
        cur = dummy = ListNode(-1)
        while True:
            cur_min = ListNode(sys.maxsize)
            idx = -1
            for i, node in enumerate(lists):        # 每一次循环都遍历所有的链表首节点
                if node and node.val < cur_min.val: #   但问题是有的节点可能已经到尽头了
                    cur_min = node                  #   却依然要继续遍历长度为K的链表集合`lists`
                    idx = i 
            if idx == -1: return dummy.next
            cur.next = lists[idx]
            cur = cur.next
            lists[idx] = lists[idx].next

更优解

上面一种解法很好想,但问题也很明显,假设最终共有N个节点,那么上面解法的时间复杂度则为稳定的O(KN)。具体来说,每轮循环遍历长度为K的列表,需要遍历N次才能把所有节点排序好。

怎样避免重复访问已经被彻底用尽的链表呢?这里有一个非常巧妙地解法,利用了list可以O(1)索引的原理,配上一点小小的数学技巧。

  • 第一轮循环,间隔为1的链表相互合并,比如将第一、二个链表合并,第三,四个链表合并…以此类推,合并后的链表统一放在前面那个链表上(第一,三,五…个链表上);现在有效链表仅仅存在于一,三,五…号链表上
  • 第二轮循环,间隔为2的链表相和并,比如一,三合并;五,七合并等等;现在有效链表仅存在于一,五,九…号链表上

跟据这个规律每次扩大间隔的倍数,最终所有的链表都会被合并在lists[0]上面;具体过程如下

class Solution:
    def mergeKLists(self, lists):
        if not lists: return None
        amount = len(lists)
        interval = 1
        while interval < amount:
            for i in range(0, amount - interval, interval * 2):            # 控制间隔和上限
                lists[i] = self.merge2Lists(lists[i], lists[i + interval]) # 按照间隔合并两个链表,并放在小索引上防止合并后的链表
            interval *= 2                                                  # 更新间隔
        return lists[0] 

    def merge2Lists(self, l1, l2):                                         # LeetCode 21 的解法,合并两个已排序链表
        dummy = cur = ListNode(-1)
        while l1 and l2:
            if l1.val <= l2.val:
                cur.next = l1
                l1 = l1.next
            else:
                cur.next = l2
                l2 = l2.next
            cur = cur.next
        if not l1: cur.next = l2
        else: cur.next = l1
        return dummy.next

用这种解法就可以避免永远遍历K个元素,由于每次循环,有效节点的数目都减半(间隔增大一倍),因此这种方法的时间复杂度是O(NlogK)。具体来讲就是,每轮循环都会遍历全部N个节点,但一共需要logK次循环。

解题后的思考

从2到多有时候就是简单的归纳法,但如果归纳的起始状态就错了呢?对于这道题,如果一开始合并两个链表时,就用间隔的方法,那么归纳就是对的,可惜事实并非如此。

我想更合理的思考过程应该是,如果发现解法有严重的缺点,应该去思考有没有更好的解法。利用list和数学的方法有效的提高了性能,看来提高性能不一定非要使用高级的数据结构,把基础的玩出花样,一样可以效果非凡。

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