数据结构之跳表

跳跃表

跳表全称叫做跳跃表,简称跳表。跳表是一个随机化的数据结构,实质是一种可以进行二分查找的有序链表。跳表在原有的有序链表上增加了多级索引,通过索引来实现快速查询。跳表不仅能提高搜索性能,同时也可以提高插入和删除操作的性能。

跳表思路分析

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如上图所示,原始链表的节点分别是1、3、4、5、7、8、9、10、13、16、17、18。现在有个需求,想快速的找到节点10,最直接的方式就是依次遍历节点1、3、4、5、7、8、9、10

为了提高链表的查找效率,我们可以从链表每2个节点提出一个节点,做为索引节点,通过建立索引链表来指向原始的链表。如上图所示,建立的一级索引链表的节点分别是1、4、7、9、13、17

首先从索引链表开始遍历,直到遍历到索引节点9时,发现9的后继节点是13,比10大,这时就不需要再向后遍历,而是通过索引链表的节点9找到原始链表的节点9,然后再往后遍历就是节点10。添加了一级索引链表后只需遍历节点 1、4、7、9、10。这时遍历的节点相对较少了,若再添加一个二级索引链表,如下图所示:

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那么只需要遍历节点 1、7、9、10 找到节点,依次类推。这就是跳表的原理,用空间换时间来提交查找效率。效率还是不够明显。如下图所示,假如有序单链表现在有1万个元素,分别是 0~9999。现在添加了很多级索引,最高级的索引,就两个元素 0、5000,次高级索引四个元素 0、2500、5000、7500,依次类推,当我们查找 7890 这个元素时,查找路径为 0、5000、7500 … 7890,通过最高级索引直接跳过了5000个元素,次高层索引直接跳过了2500个元素,从而使得链表能够实现二分查找。由此可以看出,当元素数量较多时,索引提高的效率比较大,近似于二分查找。

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索引链表的维护

当我们不断地往跳表中插入数据时,若不更新索引链表,就有可能出现某2个索引节点之间的数据非常多的情况,在极端情况下,跳表还会退化成单链表,如下图所示:

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跳表是通过随机函数来维护索引链表。

当我们往跳表中插入数据时,通过一个随机函数来决定这个结点插入到哪几级索引层中。随机函数代码实现:

/**
* 随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数,且 :
*      1/2 的概率返回 1
*      1/4 的概率返回 2
*      1/8 的概率返回 3
* 以此类推。
* @return 返回1不建索引、返回2建一级索引、返回3建二级索引、返回4建三级索引依次类推
*/     
private int randomLevel(){
    int level = 1;
    for(int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i){
        if(random.nextInt() % 2 == 1){
            level+=1;
        }
    }
    return level;
}

插入原理

现在我们要插入数据 6 到跳表中,首先 randomLevel() 返回 3,表示需要建二级索引,即:一级索引和二级索引需要增加元素 6。该跳表目前最高三级索引,首先找到三级索引的 1,发现 6 比 1大比 13小,所以,从 1 下沉到二级索引。

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下沉到二级索引后,发现 6 比 1 大比 7 小,此时需要在二级索引中 1 和 7 之间加一个元素6 ,并从元素 1 继续下沉到一级索引。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-kRqs0FYX-1617572783152)(C:\Users\10034\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210405025407486.png)]

下沉到一级索引后,发现 6 比 1 大比 4 大,所以往后查找,发现 6 比 4 大比 7 小,此时需要在一级索引中 4 和 7 之间加一个元素 6 ,并把二级索引的 6 指向 一级索引的 6,最后,从元素 4 继续下沉到原始链表。

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下沉到原始链表后,发现 4、5 比 6小,7比6大,所以将6插入到 5 和 7 之间,插入结束。

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整个插入过程的路径与查找元素路径类似, 每层索引中插入元素的时间复杂度 O(1),所以整个插入的时间复杂度是 O(logn)

删除原理

跳表删除数据时,要把索引中对应节点也要删掉。如下图所示,如果要删除元素 9,需要把原始链表中的 9 和第一级索引的 9 都删除掉。

跳表的删除操作时间复杂度为:O(logn),支持动态的删除。

在这里插入图片描述

代码实现

package leetcode.链表;

import java.util.Random;

public class SkipList<E extends Comparable<? super E>> {
    private final int MAX_LEVEL = 32; //跳表层数,定义成32层理论上对于2^32-1个元素的查询最优。
    private int level = 0;//当前跳表的有效层
    private final SkipNode<E> header = new SkipNode<E>(MAX_LEVEL, null);//头节点
    private final Random random = new Random();//随机数
    private final double E = Math.E;//自然数e

    static class SkipNode<E extends Comparable<? super E>> {
        public E val;//节点存储的值Val
        public SkipNode<E>[] next;//节点指向第i层的节点next[i]

        @SuppressWarnings("unchecked")
        public SkipNode(int MAX_LEVEL, E val) {
            this.next = new SkipNode[MAX_LEVEL];
            this.val = val;
        }
    }

    /**
     * 检查跳表中是否包含val节点
     *
     * @param val 值
     * @return
     */
    public boolean contains(E val) {
        //curr指向跳表头结点
        SkipNode<E> curr = header;
        /**
         * 从顶层开始查找当前层的链表中是否包含节点node,如果包含node节点,直接返回true;否则在下一层中查找是否包含node节点。
         * 如果最底层的链表也不包含node节点,则放回false。
         */
        for (int i = level; i >= 0; i--) {
            while (curr.next != null && curr.next[i].val.compareTo(val) < 0) {
                curr = curr.next[i];
            }
            if (curr.next[i].val.equals(val)) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    /**
     * 插入节点
     *
     * @param val
     */
    @SuppressWarnings({"unchecked", "rawtypes"})
    public void insert(E val) {
        SkipNode<E> curr = header;//指向头节点
        SkipNode<E>[] pre = new SkipNode[MAX_LEVEL];//保存前继节点
        //找出每层中待插入节点的前继节点
        for (int i = level; i >= 0; i--) {
            curr = header;
            while (curr.next[i] != null && curr.next[i].val.compareTo(val) < 0) {
                curr = curr.next[i];
            }
            pre[i] = curr;
        }

        curr = curr.next[0];
        //维护索引链表,返回1不建索引、返回2建一级索引、返回3建二级索引、返回4建三级索引依次类推
        int nextLevel = randomLevel();
        //如果待插入节点位置是空,或者与node节点值不同,将新节点插入到跳表中
        if (curr == null || !curr.val.equals(val)) {
            //若新增一层链表
            if (nextLevel > level) {
                pre[nextLevel] = header;
                level = nextLevel;
            }
            SkipNode<E> node = new SkipNode(MAX_LEVEL, val);
            for (int i = level; i >= 0; i--) {
                node.next[i] = pre[i].next[i];
                pre[i].next[i] = node;
            }
        }
    }

    @SuppressWarnings({"unchecked"})
    public void delete(E val) {
        SkipNode<E> curr = header;
        SkipNode<E>[] pre = new SkipNode[MAX_LEVEL];
        //寻找待删除元素在不同层上的前继节点
        for (int i = level; i >= 0; i--) {
            while (curr.next != null && curr.next[i].val.compareTo(val) < 0) {
                curr = curr.next[i];
            }
            pre[i] = curr;
        }
        curr = curr.next[0];
        //若跳表中不含此节点
        if (!curr.val.equals(val)) {
            return;
        }
        for (int i = level; i >= 0; i--) {
            if (!pre[i].next[i].val.equals(val)) {
                continue;
            }
            pre[i].next[i] = curr.next[i];
        }
        //若删除元素val后level层元素数目为0,层数减少一层
        while (level > 0 && header.next[level] == null) {
            level--;
        }
    }

    /**
     * 输出跳表中的元素
     */
    public String toString() {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        SkipNode<E> curr = header.next[0];
        sb.append("{");
        while (curr.next[0] != null) {
            sb.append(curr.val);
            sb.append(",");
            curr = curr.next[0];
        }
        sb.append(curr.val);
        sb.append("}");
        return sb.toString();
    }

    /**
     * 利用随机数发生器来决定是否新增一层
     * 随机生成 1~MAX_LEVEL 之间的数,且 :
     * 1/2 的概率返回 1
     * 1/4 的概率返回 2
     * 1/8 的概率返回 3
     * 以此类推。
     *
     * @return 返回1不建索引、返回2建一级索引、返回3建二级索引、返回4建三级索引依次类推
     */
    private int randomLevel() {
        double ins = random.nextDouble();
        int nextLevel = level;
        if (ins > E && level < MAX_LEVEL) {
            nextLevel += 1;
        }
        return nextLevel;
    }
}

参考文章:

https://cloud.tencent.com/developer/article/1539038

https://blog.csdn.net/pcwl1206/article/details/83512600

https://blog.csdn.net/gloomysnow/article/details/51510203

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